Prečo pí?

14.10.2013 23:08
pí
Ilustračné foto. Autor:

Keď už Eratostenes prišiel na to, aký je obvod Zeme, mohol zistiť aj jej priemer (šírku). Ale na to, aby to mohol urobiť, potreboval by vedieť jedno špeciálne číslo pí. Pí je pomer obvodu kruhu k jeho priemeru a na jeho zápis používame grécke písmeno π.

Prečo pí?

Už v antike ľudia vedeli, že hodnota π je dôležitá, ale nemohli mať ani tušenia, ako veľmi významná bude. Dnes vedci a technici používajú π v širokej škále výpočtov týkajúcich sa kruhov a kriviek, od plánovania ciest alebo lietadiel až po analýzu zvukových vĺn. Keď obvod kruhu vydelíme jeho priemerom, dostaneme hodnotu pí.

Čo je pí?

Vieme, že hodnota π je približne 3,14. Presne túto hodnotu nemôžeme vyjadriť, pretože počet jeho desatinných miest je nekonečný a nenachádza sa v ňom žiadna perióda. Π sa nedá vyjadriť ako pomer dvoch celých čísel, takže hovoríme, že číslo π je iracionálne. Zároveň neexistuje žiadna nekomplikovaná rovnica, z ktorej by sa dala jeho hodnota vypočítať, preto ho nazývame aj transcendentným číslom. Toto všetko robí z π priam tajomné číslo.

Kvadratúra kruhu

Antickí Gréci milovali geometrické hádanky a snažili sa ich riešiť iba s pomocou pravítka a kružidla. Prišli napríklad na to, ako pomocou kružnice narysovať šesťuholník…

…ale jeden problém ich úplne pohltil.

Stáli pred úlohou, ako len s pomocou pravítka a kružidla narysovať štvorec s rovnakým obsahom, ako má daný kruh. Tento problém sa nazýva „kvadratúra kruhu“. Gréci ho nikdy nevyriešili – a dnes už vieme prečo. Riešenie si vyžaduje narysovať štvorec so stranou dlhou druhá odmocnina z π. Lenže číslo pí je transcendentné, a teda sa nedá zistiť hodnota jeho druhej odmocniny.

(Kliknutím na obrázok zväčši, otvoriť v novom okne)

Stavanie s kruhmi

Kruhy boli pre Grékov zaujímavé nielen v oblasti matematiky. Využívali ich pri stavbe polkruhových divadiel, pretože tak nielenže umožnili dobrý výhľad každému z divákov, ale zaoblený tvar aj zosilňoval zvuk. Grécke divadlá vyzerali pôsobivo a pritom mali jednoduchú konštrukciu. Stavali ich v prirodzene vytvorených jamách. Neskoršie civilizácie využívali kruhy pri budovaní tých najzaujímavejších stavieb na svete.

Hľadá sa pí

Fakt, že číslo π sa nedá presne vypočítať, nezastavil ľudí pred tým, aby to skúšali. Problém spočíval v odmeraní presnej dĺžky kružnice (zmeranie priemeru bola tá jednoduchšia časť). Skúšali to aj Egypťania. Narysovali si obrázok, ako je tu dole – kruh s vpísaným šesťuholníkom. Šesťuholník tvorí šesť rovnostranných trojuholníkov. Po obvode šesťuholníka je 6 strán týchto trojuholníkov a uhlopriečne sú 2.

(Kliknutím na obrázok zväčši, otvoriť v novom okne)

Takže pomer obvodu šesťuholníka a jeho uhlopriečky (priemeru) je 3. Priemer kruhu tvoria 2 strany trojuholníkov a obvod je zjavne dlhší ako 6 strán, čiže hodnota π musí byť väčšia ako 3. Egypťanom sa podaril celkom slušný odhad hodnoty π ako pomer 162: 92, čo je 256:81, čiže 3,16.

Bližšie…
Okolo roku 250 p.n.l. grécky matematik Archimedes zistil presnejšiu hodnotu π pomocou vpísania kruhu medzi dva štvorce alebo iné útvary. Vďaka tomuto dômyselnému postupu sa viac priblížil k odmeraniu dĺžky obvodu kruhu. V prípade uvedenom tu musí byť napríklad obvod kruhu niekde medzi obvodmi dvoch nakreslených štvorcov. Archimedes prišiel na to, že k presnej odpovedi sa bude blížiť čoraz viac, ak bude zvyšovať počet strán tých dvoch útvarov.

…a bližšie

Matemágia
Matemágia Autor: Slovart

Skúsil šesťuholník a výsledok sa spresnil. Čím viac strán pridával, tým viac sa strany útvarov približovali ku kružnici a jeho odpoveď sa spresňovala. Dopracoval sa až k útvaru s 96 stranami, ktorý už bol nerozoznateľne blízko pri kružnici.

Pomocou 96-uholníka zistil, že hodnota π je niekde medzi 3,1428 a 3, 1408 – úžasný úspech. Táto hodnota π bola najpresnejšou až dovtedy , kým ju o 500 rokov neskôr nespresnili čínski matematici…

Z knihy Johnny Ball – Matemágia, vydal Slovart

#pí #kruh #kružnica #obvod #priemer kruhu #kvadratúra
Sleduj najnovšie články na našom Facebooku
Ponuky zo Zľavy.Pravda.sk